Question

已知两个方程x²+4x+4a=0①和x²+3x+6a=0②都有两个不同的实数根,并且一个方程的任意一个根不在另一个方程的两个根之间,试问满足上述的实数a是否存在?若存在,求出实数a;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析：方程①有两个不同的实根的充要条件是Δ=4²-4×4a＞0,即a＜1.?

方程②有两个不同的实根的充要条件是Δ′=3²-4×6a＞0，即a＜.?

于是，当a＜时，两个方程都有不同的实根.?

在a＜的条件下，方程①的两个根是

并且x₁＜x₂,方程②的两个根是?

并且x₃＜x₄.?

要使一个方程的任意一个根不在另一个方程两个根之间，a的值应满足下列两组条件之一.

首先解x₂＜x₃的情形，即?

-2+2 ＜

 -1+4＜-,?

即4+＜1，两边平方，得

16-16a+9-24a+8＜1,??

8＜40a-24,?

即＜5a-3.③?

当a＜时，5a-3＜0，从而不等式③无解.?

下面再解x₄＜x₁的情形，即?

＜-2-2,?

-3+＜-4-4，有＜-1-4.?④?

显然，不等式④无解.?

结合以上各式可知，不存在满足题目要求的a.