Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为　　．

Answer 1

解答：

解：∵曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），

∴y′=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1，

∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），

该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=，

∵a_n=lgx_n，

∴a_n=lgn﹣lg（n+1），

∴a₁+a₂+…+a₉₉=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）

=lg1﹣lg100=﹣2．

故答案为：﹣2．