Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（2）将f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式a≤lnx+

1

x

对于x∈[1，+∞）恒成立，然后令g(x)=lnx+

1

x

，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
从而f（x）在(0，

1

e

)单调递减，在(

1

e

，+∞)单调递增．
所以，当x=

1

e

时，f（x）取得最小值-

1

e

．
（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式a≤lnx+

1

x

对于x∈[1，+∞）恒成立．
令g(x)=lnx+

1

x

，
则g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

1

x

(1-

1

x

)．
当x＞1时，
因为g′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
故g（x）是（1，+∞）上的增函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值．导数是高等数学下放到高中的内容，是每年必考的热点问题，要给予重视．