Question

过抛物线y²=4x的焦点，作直线与抛物线相交于P、Q两点，求线段PQ中点的轨迹方程．

Answer 1

∵y²=4x的焦点坐标为F（1，0）
∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0
又设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中点M的坐标为（x₀，y₀），则有：

2y0=y1+y2 2x0=x1+x2

而由题意，得

y 21 =4x1 y 22 =4x2

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) ∴ y1-y2 x1-x2 = 4 y1+y2

∴k=

2

y0

…（4分）
∵点M（x₀，y₀）在直线PQ上

∴y0=k(x0-1) ∴ y 20 =2(x0-1)

即得线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（5分）
而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y²=2（x-1）
综上，线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（6分）