Question

已知函数，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a²-8，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．
解答：解：f（x）的定义域是（0，+∞），．
设g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a²-8．
①当△=a²-8＜0，即时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当△=a²-8=0，即时，仅对有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
③当△=a²-8＞0，即时，
方程g（x）=0有两个不同的实根，，0＜x₁＜x₂．

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		_		+
f（x）	单调递增↗	极大	单调递减↘	极小	单调递增

此时f（x）在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．