Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-2a2x．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数，令导数值为0，求出x的值，代入验证极值点左右两边的导数符号是否相反．
（Ⅱ）令导函数等于0求出根，通过讨论a的范围确定出两个根的大小，将f'（x）与f（x）的变化规律列表，即可得到函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-2x，
所以f'（x）=x²+x-2，
令f'（x）=0得，x₁=-2，x₂=1，
f'（x）与f（x）变化规律如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的极大值点为-2，极小值点为1．
（Ⅱ）f'（x）=x²+ax-2a²
令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a．
（1）当a=0时，f'（x）=x²≥0，f（x）在的单调递增区间为（-∞，+∞）
（2）当a＞0时，f'（x）与f（x）变化规律如下表：

x	（-∞，-2a）	-2a	（-2a，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以f（x）的增区间是（-∞，-2a）和（a，+∞），减区间是（-2a，a）
（3）当a＜0时，f'（x）与f（x）变化规律如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以f（x）的增区间是（-∞，a）和（-2a，+∞），减区间是（a，-2a）
综上所述，当a=0时，f'（x）=x²≥0，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，f（x）的增区间是（-∞，-2a）和（a，+∞），减区间是（-2a，a）；
当a＜0时，f（x）的增区间是（-∞，a）和（-2a，+∞），减区间是（a，-2a）

点评：利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数为0是函数有极值的必要不充分条件；利用导数判断函数的单调区间，导函数大于0求出单调递增区间；导函数小于0求出单调递减区间．