Question

如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为4，侧棱长为2，动点P在AA₁上运动，动点Q在底面ABCD内运动，且PQ=2.

（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；

（2）求线段PQ中点M所形成图形的面积；

（3）若PA=，当四面体B—QDC₁的体积最小时，求二面角B-C₁Q-C的大小.

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，?

∴BD⊥AC，AA₁⊥面BD，?

BD面ABCD，BD⊥AA₁，?

∴BD⊥平面ACC₁A₁.                                                                                             

?

（2）解:∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥AQ.?

M为PQ中点，AM=1,                                                                                            ?

点M在以A为球心，半径为1的球面上，动点M所形成图形的面积为S=.         ?

（3）解:若PA=，则AQ=.Q在以A为圆心,半径为的圆弧上运动.?

∵V=V,C₁到面BDQ的距离为2，只要S_△BDQ面积最小即可，即Q到BD距离最小.

?

∵AC⊥BD，∴Q在AC上.?

设BD∩AC=O，BD⊥平面CC₁Q，过O作OE⊥C₁Q交C₁Q于E.连结BE，则∠BEO为二面角B-C₁Q-C的平面角.                                                                                                             ?

CQ=3，QO=，C₁Q=，RT△OEQ∽RT△C₁CQ?,?

∴OE=,tan∠BEO==,?

∠BEO=arctan.?

∴二面角B-C₁Q-C大小为arctan.