Question

如图20,在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.

图20

(1)证明SO⊥平面ABC;

(2)求二面角A-SC-B的余弦值.

Answer 1

(1)证明:如图21,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=SA,且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,且SO=SA.

从而OA²+SO²=SA².所以△SOA为直角三角形,SO⊥AO.

又AO∩BC=O,所以SO⊥平面ABC.

(2)解:如图21,取SC中点M,连接AM、OM,

图21

由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.

所以∠OMA为二面角A-SC-B的平面角.

由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC.

所以AO⊥OM.又AM=SA,故sin∠AMO=.

所以二面角ASCB的余弦值为.