Question

已知函数f（x）=2^x+2^-x．（1）证明f（x）是偶函数；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（1）用定义判断函数的奇偶性．其步骤为先判断定义域的对称性，再判断f（x）与f（-x）的关系，另外注意本题书写的格式---先判断后证明．
（2）用定义判断函数的单调性，其步骤是任取两个自变量，对其函数值作差，判断其符号，得出单调性结论，注意本题书写的格式---先判断后证明．

解答：解：（1）证明：f（x）的定义域为R，…（1分）
且对于任意x∈R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以f（x）是偶函数．…（4分）
（2）f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（5分）
证明如下：设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，则△x=x₁-x₂＜0，△y=f(x1)-f(x2)=(2x1+

1

2x1

)-(2x2+

1

2x2

)=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=2x1-2x2+

2x2-2x1

2x1+x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)．
因为0＜x₁＜x₂，所以 2x1＜2x2，2x1+x2＞1，所以2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0，从而△y＜0，
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（10分）

点评：本题综合考查了函数的奇偶性和单调性，考查全面，一题多考，知识覆盖面广，技能性强．