Question

已知函数f（x）=x³-3ax．
（1）当a=1时，求函数f（x）在闭区间[-2，2]上的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），令f'（x）=0，得x=-1或x=1，列表讨论，能求出f（x）在[-2，2]上的极大值和极小值．
（2）f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），根据a的符号进行分类讨论，能得到函数f（x）的单调性．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x，
f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，得x=-1或x=1，…（2分）
当x在区间（-2，2）上变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）
f'（x）	正	0	负	0	正
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

故f（x）在[-2，2]上有极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2．…（6分）
（2）f'（x）=3x²-3a=3（x²-a）
当a≤0时，f'（x）≥0在R上恒成立，
故f（x）在R上为增函数  …（8分）
当a＞0时，由f'（x）≥0得：x≤-

a

或x≥

a

；
由f'（x）≤0得：-

a

≤x≤

a

，
故f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上为增函数，
在[

a

，-

a

]上为减函数．…（11分）
综上：当a≤0时，f（x）在R上为增函数；
当a＞0时，f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上为增函数，在[

a

，-

a

]上为减函数．…（12分）

点评：本题考查函数的极值和单调性的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．