Question

求函数f(x)=x³-3ax+2的极值，并说明方程x³-3ax+2=0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根（其中a＞0）?

Answer 1

解:函数的定义域为R，其导函数为f′(x)=3x²-3a.

由f′(x)=0可得x=±,列表讨论如下：

x	(-∞,-a)	-a	(-a,a)	a	(a,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		极大值		极小值

 

由此可得，函数在x=-处取得极大值2+2a,在x=处取得极小值2-2a.

根据列表讨论，可作函数的草图（如图），因为极大值f(-)=2+2a＞0,故当极小值f()=2-2a＜0,即a＞1时，方程x³-3ax+2=0有三个不同的实根；当极小值f()=2-2a＞0，即0＜a＜1时，方程x³-3ax+2=0有唯一的实根.