Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn+an=2-(

1

2

)n（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

cn

n+1

=

an

n+2

，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

把已知转化为2n+1an-2nan-1=1，而数列{2ⁿ⁺¹a_n}是一个等差数列，利用通项公式即可得出；
（2）由已知得到cn=

n+1

2n+1

，利用“错位相减法”即可得出T_n．

解答：解：（1）∵Sn+an=2-(

1

2

)n，∴n≥2时，Sn-1+an-1=2-(

1

2

)n-1
两式相减可得2a_n-a_n-1=(

1

2

)n，
∴2n+1an-2nan-1=1还
∵n=1时，S1+a1=2-(

1

2

)1，∴a1=

3

4

，∴2²a₁=3
∴{2ⁿ⁺¹a_n}是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴2ⁿ⁺¹a_n=n+2，∴an=

n+2

2n+1

；
（2）∵

cn

n+1

=

an

n+2

，∴cn=

n+1

n+2

an=

n+1

n+2

×

n+2

2n+1

=

n+1

2n+1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，
2T_n=

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

，
两式相减得T_n=

2

2

+

1

22

+

1

23

+…

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

2+n

2n+1

．

点评：数列掌握通项a_n与其前n项和S_n的关系an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

、“错位相减法”、等差数列和等比数列的通项及其前n项和的计算公式是解题的关键．