Question

设函数f（x）=（a-2）ln（-x）++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用和式函数的求导公式求解导函数，有对数函数先求定义域，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的极值；
（2）判定函数当x变化时，f'（x）的变化情况，f'（x）＞0求得单调增区间，f'（x）＜0求得单调减区间，f'（x）的变化情况研究出函数的极值．
解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（-∞，0）．
当a=0时，，=．
令f′（x）=0，解得．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

由上表知：当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0．
故当时，f（x）取得极大值为2ln2-2．（5分）
（Ⅱ）==
若a＞0，令f′（x）＞0，解得：；令f′（x）＜0，解得：．
若a＜0，①当-2＜a＜0时，
令f′（x）＞0，解得：；
令f′（x）＜0，解得：或．
②当a=-2时，，
③当a＜-2时，
令f′（x）＞0，解得：；
令f′（x）＜0，解得：或．
综上，当a＞0时，f（x）的增区间为，减区间为；
当-2＜a＜0时，f（x）的增区间为，减区间为，；
当a=-2时，f（x）的减区间为（-∞，0），无增区间；
当a＜-2时，f（x）的增区间为，减区间为，．（14分）
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值．