Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}accosB$，
点D在BC上，$CD=2，且cos∠ADB=-\frac{1}{7}$．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）若c=8，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面积公式和已知等式求得tanB的值，进而求得B．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由正弦定理可得AD的值，在△ADC中，由余弦定理可求b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由已知得$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cacosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵cos∠ADB=-$\frac{1}{7}$，∠ADB∈（0，π），
∴sin∠ADB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴在△ABD中，由正弦定理可得：AD=$\frac{ABsin∠ABD}{sin∠ADB}$=$\frac{8×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$=7，
在△ADC中，由余弦定理得b²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
∵cos$∠ADC=-cos∠ADB=\frac{1}{7}$，
∴b=$\sqrt{{7}^{2}+{2}^{2}-2×7×2×\frac{1}{7}}$=7…12分

点评 本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理和余弦定理的应用．注重了对学生基础知识的考查，属于基础题．