Question

7．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，直线$\sqrt{3}$x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求双曲线S的方程；
（2）设经过点（-2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和点到直线的距离公式，结合a，b，c的关系，即可得到a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线AB：y=k（x+2），代入双曲线的方程，运用韦达定理，讨论k=0，k≠0，由中点坐标公式，结合两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程即可得到k的值．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，又a²+b²=c²，
设右焦点为（c，0），由题意可得d=$\frac{|\sqrt{3}c+5|}{\sqrt{3+9}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得c=$\sqrt{3}$，b=1，a=$\sqrt{2}$，
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1；
（2）设直线AB：y=k（x+2），
当k=0时，可得A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），
即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP
是以AB为底的等腰三角形；
当k≠0时，代入双曲线的方程可得
（1-2k²）x²-8k²x-8k²-2=0，
判别式△=64k⁴+4（1-2k²）（8k²+2）=8+16k²＞0恒成立，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，则AB的中点M坐标为（$\frac{4{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1-2{k}^{2}}$），
由题意可得PM⊥AB，可得k_PM=-$\frac{1}{k}$，
即有$\frac{2k-1+2{k}^{2}}{4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，解得k=$\frac{-3±\sqrt{11}}{2}$．
综上可得k=0，或k=$\frac{-3±\sqrt{11}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件，属于中档题．