Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，存在单位向量$\overrightarrow{e}$，使得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$）=0，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

Answer 1

分析 利用已知条件求出向量$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$，两边取模，再由|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，再两边平方，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的范围，再求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的平方的范围，即可得到所求范围．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$，
两边取模可得|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1|=|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$|，
而|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
即有|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
两边平方可得，（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1）²≤（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²，
即为（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²≤$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-1=4+4-1=7，
即-$\sqrt{7}$≤$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤$\sqrt{7}$，
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
8-2$\sqrt{7}$=（$\sqrt{7}$-1）²≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²≤8+2$\sqrt{7}$=（$\sqrt{7}$+1）²，
即有$\sqrt{7}$-1≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{7}$+1，
故答案为：[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

点评 本题考查向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，考查转化思想和不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．