Question

小王有一天收到6位好友分别发来的1，2，2，3，3，4条短信，当天他从这6位好友中任取3位的短信阅读，并且只阅读已选取的好友的全部短信．
（1）求小王当天阅读的短信条数ξ的所有可能取值；
（2）求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件，利用穷举法知ξ=5，6，7，8，9，10．
（2）由穷举法知p（ξ=5）=

1

20

，p（ξ=6）=

4

20

=

1

5

，p（ξ=7）=

5

20

=

1

4

，p（ξ=8）=

5

20

=

1

4

，p（ξ=9）=

4

20

=

1

5

，p（ξ=10）=

1

20

，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（1）设好友A发3条短信，B发2条短信，C发2条短信，D发3条短信，E发3条短信，F发4条短信，
若只阅读好友A、B、C的短信，ξ=5；
若只阅读A、B、D或A、B、E或A、C、D或A、C、E三位好友的短信，ξ=6；
若只阅读A、B、F或A、C、F或B、C、D或B、C、F或A、D、F三位好友的短信，ξ=7；
若只阅读B、C、F或、A、D、F或B、D、E或A、E、F或C、D、E三位好友的短信，ξ=8；
若只阅读B、D、F或C、D、F或B、E、F或C、E、F三位好友的短信，ξ=9；
若只阅读D、E、F三位好友的短信，ξ=10．
故ξ=5，6，7，8，9，10．
（2）由（1）知：
p（ξ=5）=

1

20

，p（ξ=6）=

4

20

=

1

5

，p（ξ=7）=

5

20

=

1

4

，p（ξ=8）=

5

20

=

1

4

，p（ξ=9）=

4

20

=

1

5

，p（ξ=10）=

1

20

，
∴ξ的分布列为

ξ	5	6	7	8	9	10
P	1 20	1 5	1 4	1 4	1 5	1 20

∴Eξ=5×

1

20

+6×

1

5

+7×

1

4

+8×

1

4

+9× 

1

5

+10×

1

20

=

15

2

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要注意穷举法的灵活运用，考虑问题要全面，不要丢解、漏解．