Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当x∈[-3，3]时，函数f（x）是否有最值？若果有，求出最值；如果没有，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）
令z=y=0可得f（0）=2f（0）即f（0）=0
令-x=y可得f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
即函数f（x）是奇函数
（2）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0
x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₁-x₂）＜0
∵f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]
=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴x∈[-3，3]时，函数f（x）单调递减
∵f（1）=-2
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=-3f（1）=6
f（x）_min=f（3）=3f（1）=-6
分析：（1）令z=y=0可求f（0）=0，然后令-x=y可f（-x）=-f（x），即可判断
（2）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，利用x＞0时，f（x）＜0，可得f（x₁-x₂）＜0，然后根据函数的单调性的定义可得f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂），结合函数的单调性可求函数的最值
点评：本题主要考查了利用赋值法判断抽象函数的奇偶性及单调性在函数的最值求解中的应用，解题的关键是利用灵活的构造