Question

过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：

（1）△AOB面积最小时l的方程；

（2）|PA|·|PB|最小时l的方程.

Answer 1

（1）x+2y-4=0（2）x+y-3=0

解析:

方法一  设直线的方程为 (a＞2,b＞1),

由已知可得.                                                                                 2分

（1）∵2≤=1，∴ab≥8.                                                                                    ∴S_△AOB=ab≥4.                                                                                    4分

当且仅当==,即a=4,b=2时，S_△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0. 6分

（2）由+=1,得ab-a-2b=0,                                                                                       变形得(a-2)(b-1)=2,

|PA|·|PB|

=·

=

≥.                                                                                 10分

当且仅当a-2=1,b-1=2,

即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.

此时直线l的方程为x+y-3=0.                                                                        12分

方法二  设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0),

则l与x轴、y轴正半轴分别交于

A、B（0，1-2k）.

（1）S_△AOB=（1-2k）

=×

≥（4+4）=4.

当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.          6分

·

（2）|PA|·|PB|=

=≥4,

当且仅当=4k²,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.                12分