Question

如图，已知△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是AE的中点．求证：

(1)平面BDM⊥平面ACE；

(2)平面ADE⊥平面ACE．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)取AC的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，且MN＝EC．因为DB∥EC，所以MN∥DB．所以点N在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．在等边三角形ABC中，N为AC的中点，则AC⊥BN．又AC∩EC＝C，所以BN⊥平面ACE．因为BN平面BDMN，所以平面BDMN⊥平面ACE，即平面BDM⊥平面ACE． 　　(2)因为DB∥EC，且DB＝EC，MN∥EC，且MN＝EC，所以四边形BDMN为平行四边形，所以DM∥BN． 　　由(1)知BN⊥平面ACE， 　　所以DM⊥平面ACE． 　　又DM平面ADE， 　　所以平面ADE⊥平面ACE．