Question

有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

Answer 1

解法一：根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点x km,则?

∵BD=40,AC=50-x,?

∴BC=.又设总的水管费用为y元,依题意有

y=3a（50-x）+5a（0＜x＜50）.

y′=-3a+,?

令y′=0,解得x=30.

在（0,50）上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,

函数在x=30（km）处取得最小值,?

此时AC=50-x=20（km）.

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

解法二：设∠BCD=θ,则BC=,?

CD=40·cotθ,（0＜θ＜）,?

∴AC=50-40·cotθ.?

设总的水管费用为f（θ）,依题意,有?

f（θ）=3a（50-40·cotθ）+5a·

=150a+40a·，?

∴f（θ）=

=40a·.

令f′（θ）=0,得cosθ=.?

根据问题的实际意义,当cosθ=时,?

函数取得最小值,此时sinθ=,?

∴cotθ=,?

∴AC=50-40cotθ=20（km）,

即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可供水管费用最省.