Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

，x∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）对于任意x∈[0，

π

3

]，不等式f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，对f（x）进行配方，根据二次函数的性质即可求得其最小值；
（2）令t=cosx，t∈[

1

2

，1]，则f（x）可转化为关于t的二次函数，根据二次函数的性质按a的取值范围进行讨论求得该二次函数的最小值，令最小值大于等于

1

2

-

1

2

a解出a即可；

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=sin²x+cosx-2=-cos²x+cosx-1=-(cosx-

1

2

)2-

3

4

，
因为-1≤cosx≤1，
所以当cosx=-1时f（x）取得最小值，为-3．
（2）f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

1

2

a-

1

2

=-(cosx-

1

2

a)2+

1

4

a2-

1

2

a-

1

2

，
令t=cosx，由x∈[0，

π

3

]，得t∈[

1

2

，1]，
则g（t）=-(t-

1

2

a)2+

1

4

a2-

1

2

a-

1

2

，
对于任意x∈[0，

π

3

]，不等式f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，
则当

1

2

a≤

3

4

即a≤

3

2

时，g（t）_min=g（1）=

1

2

a-

3

2

≥

1

2

-

1

2

a，解得a≥2，与a≤

3

2

矛盾；
当

1

2

a＞

3

4

即a＞

3

2

时，g（t）_min=g（

1

2

）=-

3

4

≥

1

2

-

1

2

a，解得a≥

5

2

，所以a≥

5

2

；
综上，实数a的取值范围为a≥

5

2

．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查余弦函数的值域，考查函数恒成立，考查转化思想、分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数的最值解决．