Question

已知函数f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

．
（I）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求a＞2时，函数f（x）在区间（-1，1）上的极值．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，利用导数的几何意义，确定切线的斜率，求得切点坐标，即可得到切线方程；
（II）当a＞2时，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极大值和极小值．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=

1

3

x³-x²+

2

3

，f′（x）=x²-2x…（2分）
∴k=f′（1）=1-2=-1，f（1）=

1

3

-1+

2

3

=0，
∴y-0=-（x-1）
即x+y-1=0为所求切线方程．…（4分）
（II）f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x-

2

a

），
令f'（x）=0得x=0或x=

2

a

…（6分）
当a＞2时，0＜

2

a

＜1，
令f'（x）＞0可得x＜0或x＞

2

a

；令f'（x）＜0可得0＜x＜

2

a

，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（0，

2

a

）递减，在（

2

a

，1）递增
∴f（x）的极大值为f（0）=

2

3

，f（x）的极小值为f（

2

a

）=-

4

3a

+

2

3

…（10分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，正确求导，恰当计算是关键．