Question

（2011•渭南三模）定义域为R的偶函数f（x），当x＞0时，f(x)=

1

x

，若方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实根，则5根之和为

0

．

Answer 1

分析：先根据一元二次方程根的情况可判断f（x）=常数a，一定是三个解，再根据f（x）的图象可知f（x）=a有三解时，根据图象的对称性可知所求5根之和．

解答：解：定义域为R的偶函数f（x），当x＞0时，f(x)=

1

x

，
根据偶函数的对称性，作出其图象如图所示，
设关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
又f（x）=常数a，x最多三解．
而题目要求f²（x）+bf（x）+c=0有5解，即可推断f（x）=a为三解！
算出x₃=0，x₂+x₄=0，x₁+x₅=0；
所以：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=0；
故答案为：0．

点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断、偶函数图象的对称性，考查基础知识的综合运用能力，以及数形结合的思想，属于中档题．