Question

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）①求证：函数在（0，+∞）上是增函数；
②当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（2）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞﹣1且x≠0时恒成立，求证：…．

Answer 1

解：（1）①∵，
∴
∵xf'（x）＞f（x），
∴g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
从而有在（0，+∞）上是增函数．
②由①知在（0，+∞）上是增函数，
当x₁＞0，x₂＞0时，有，
于是有：，
两式相加得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）
（2）由（1）②可知：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂），（x₁＞0，x₂＞0）恒成立
由数学归纳法可知：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：
f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立
设f（x）=xlnx，则，则x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，
x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立
令，记
又，
又，
且ln（x+1）＜x
∴（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（1﹣）
＜﹣（x₁+x₂+…+x_n）＜﹣（﹣）=﹣  （**）
将（**）代入（*）中，可知：
﹣（）
于是，