Question

已知函数f（x）=（k-1）a^x-a^-x （a＞0，a≠1）为奇函数，且为增函数，则函数y=a^x+k的图象为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：根据函数f（x）为定义在R上的奇函数，由f（0）=0解出k=2，可得函数y=a^x+k即y=a^x+2．再用导数讨论函数f（x）为增函数得到a＞1，所以函数y=a^x+2图象位于直线y=2的上方且呈增函数的趋势，由此可得本题答案．
解答：∵函数f（x）=（k-1）a^x-a^-x （a＞0，a≠1）为奇函数，
∴f（0）=（k-1）×a⁰-a⁰=0，解之得k=2
因此．函数f（x）表达式为：f（x）=a^x-a^-x
又∵函数f（x）=a^x-a^-x是R上的增函数，
∴f'（x）=（lna）a^x-（ln）a^-x=（lna）（a^x+a^-x）＞0在R上恒成立
∵a^x+a^-x恒为正数，∴lna＞0，可得a＞1
由此可得函数y=a^x+k，即y=a^x+2，
图象过定点（0，3）呈增函数的趋势，且y＞2恒成立
由此对照各选项，可得只有A项符合题意
故选：A
点评：本题在已知一个基本初等函数的奇偶性和单调性的情况下，探索与之相关的另一个函数的图象，着重考查了函数的单调性、奇偶性和函数图象的作法等知识，属于基础题．