Question

已知函数f（x）=x⁴+x³-+cx有三个极值点．

（Ⅰ）证明：-27＜c＜5;

（Ⅱ）若存在c,使函数f（x）在区间[a,a+2]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x⁴+x³-x²+cx有三个极值点，所以

f′（x）=x³+3x²-9x+c=0有三个互异的实根．

设g（x）=x³+3x²-9x+c，则g′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）．

当x＜-3时，g′（x）＞0,g（x）在（-∞,-3）上为增函数,

当-3＜x＜1时，g′（x） ＜0,g（x）在（-3,1）上为减函数,

当x＞1时，g′（x）＞0,g（x）在（1,+ ∞）上为增函数．

所以函数g（x）在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值．

当g（-3） ≤0或g（1） ≥0时，g（x）=0最多只有两个不同实根，因为g（x）=0有三个不同实根，所以g（-3）＞0，且g（1）＜0．即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5．

故-27＜c＜5．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知，当-27＜c＜5时，f（x）有三个极值点，不妨设为x₁,x₂,x₃（x₁＜x₂＜x₃）,则f′（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．

所以f（x）的单调递减区间是（-∞，x₁],[x₂,x₃]．

若f（x）在区间[a,a+2]上单调递减，则[a,a+2]（- ∞,x₁],或[a,a+2][x₂,x₃]．

若[a,a+2] （-∞,x₁],则a+2≤x₁,由（Ⅰ）知，x₁＜-3，于是a＜-5．

若[a,a+2] [x₂,x₃],则a≥x₂,且a+2≤x₃．由（Ⅰ）知，-3＜x₂＜1．

又f′（x）=x³+3x²-9x+c，当c=-27时，f′（x）=（x-3）（x+3）²;当c=5时，

f′（x）=（x+5）（x-1）²．

因此，当-27＜c＜5时，1＜x₃＜3．

所以a＜-3，且a+2＜3．即-3＜a＜1．

故a＜-5，或-3＜a＜1．

反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时，总可找到c（-27,5）,使f（x）在区间[a,a+2]上单调递减．

综上所述，a的取值范围是（-∞,-5）（-3,1）．