Question

已知函数f（x）=|x+2|．
（1）解关于x的不等式f（x）-|3x-4|≤1；
（2）若f（x）+|x-a|＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意|x+2|-|3x-4|≤1，通过分类讨论去掉绝对值符号，再解，最后取其并集即可；
（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为-2，a，x，利用绝对值的几何意义得|MA|+|MB|≥|AB|即可；
方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|a+2|，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）-|3x-4|≤1得|x+2|-|3x-4|≤1，
即

x＜-2 -(x+2)+(3x-4)≤1

或

-2≤x＜ 4 3 (x+2)+(3x-4)≤1

或

x≥ 4 3 (x+2)-(3x-4)≤1

得解集为{x|x≤

3

4

，或x≥

5

2

}．（6分）
（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为-2，a，x，
则“f（x）+|x-a|＞1恒成立”?“|x+2|+|x-a|＞1恒成立”?“|MA|+|MB|＞1恒成立”．
∵|MA|+|MB|的最小值为|AB|，即|a+2|，
∴|a+2|＞1，得a+2＞1，或a+2＜-1，即a＞-1，或a＜-3．
方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|a+2|，
∴|a+2|＞1，
解得a＞-1，或a＜-3．（12分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与绝对值不等式的几何意义，考查推理与运算能力，属于难题．