Question

设a、b、c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证3S≤I²＜4S．

Answer 1

答案：
解析：

证明：I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝a2＋b2＋c2＋2S． 　　故要证3S≤I2＜4S，只需证3S≤a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即S≤a2＋b2＋c2＜2S(这对于保证结论成立是充分必要的)． 　　欲证上左部分，只需证a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0．即只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)≥0(这对于保证前一定结论成立也是充要的)．要证上成立，可证三括号中子都不为负(这一条件对保证上结论成立是充分的，但它并不必要)，注意到：a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，b2＋c2－2bc＝(b－c)2≥0，c2＋a2－2ca＝(c－a)2≥0，故结论真． 　　欲证上右部分，只需证：a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，即要证：(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0． 　　欲证上，则至少要证以上三个括号中子之一小于零(这一条件对保证上结论成立只是必要的，但它并不充分)，即要证a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb之一真，也就是要证a＜b＋c，b＜c＋a，c＜a＋b之一真，它们显然都成立，因为三角形一边小于其他两边和．故原成立．