Question

设函数f（x）=x²-alnx与的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行（斜率相等）．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）当a＞1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x²-alnx，得，所以f^′（1）=2-a．
由，得，所以．
又由题意可得f'（1）=g'（1），
即，故a=2，或．
所以当a=2时，f（x）=x²-2lnx，；
当时，，．
（2）当a＞1时，a=2，，
函数h（x）的定义域为（0，+∞）．

=．
由x＞0，得，
故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增，
所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为．
（3）因为a＜1，所以，此时，，
当时，由，得，
f（x）在上为减函数，．
当时，由，得，
g（x）在上为增函数，，且．
要使不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，当时，m为任意实数；
当时，不等式f（x）≥m•g（x）化为，
而．
所以．
所以当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立的实数m的取值范围为．
分析：（1）求出函数f（x）和g（x）的导函数并求出它们在x=1的导数值，由导数值相等求出a的值则两个函数的解析式可求；
（2）把a=2代入两个函数解析式，求出函数h（x），求导后把导函数进行因式分解，然后由x=1对定义域分段，求出导函数在两段内的符号，判出单调性，从而求得函数h（x）的最小值；
（3）把a=分别代入函数f（x）和g（x）的解析式，分别求出导函数后判断各自导函数在上的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，进一步得到函数f（x）在上的最小值和函数g（x）在上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分离参数m后求出的最小值，则实数m的取值范围可求．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的运算能力，在分类讨论时，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．