Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+alnx+4（a＞0）
（1）若f（x）在其定义域是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=2时，函数y=f（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）有零点，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，从而得出实数a的取值范围．
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调性，取特殊值，求出n的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x-3+$\frac{a}{x}$，
若函数f（x）是定义域（0，+∞）上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x-3+$\frac{a}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
即只要a≥3x-x²在（0，+∞）上恒成立，
∴实数a的取值范围[$\frac{9}{4}$，+∞）．
（2）a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx+4，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）极大值=f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，f（x）极小值=f（2）=2ln2＞0，
故n∈N时，f（x）在[eⁿ，+∞）内不存在零点，
当n=-1时，f（e^-1）=$\frac{2e-3}{e}$+$\frac{1}{2{e}^{2}}$＞0，
n=-2时，f（e^-2）=$\frac{1-6{e}^{2}}{2{e}^{4}}$＜0，
故在[e^-2，e^-1]内存在一零点，
故函数f（x）在[eⁿ，+∞），（n∈Z）有零点时，n的最大值是-2．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，属于中档题．