Question

（2012•张掖模拟）双曲线x²-y²=1的一条渐近线与曲线y=

1

3

x3+a相切，则a的值为（　　）

• A．2
• B．-

  2

  3

• C．

  2

  3

• D．±

  2

  3

Answer 1

分析：由于双曲线x²-y²=1的条渐近线方程为y=±x，设切点坐标为（m，

1

3

m3+a），由函数y=

1

3

x3+a在切点处的导数等于切线斜率可得 m²=1，求得 m 的值，再把切点坐标代入切线方程求得a的值．

解答：解：由于双曲线x²-y²=1的条渐近线方程为y=±x，设切点坐标为（m，

1

3

m3+a），
∵y′=x²，
由函数y=

1

3

x3+a在切点处的导数等于切线斜率可得 m²=1，m=±1．
当 m=1，切点坐标为（1，

1

3

+a），代入条渐近线方程为y=x 可得 

1

3

+a=1，a=

2

3

．
当 m=-1，切点坐标为（-1，-

1

3

+a），代入条渐近线方程为y=x 可得-

1

3

+a=-1，a=-

2

3

．
故选D．

点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，利用导数求切线的斜率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．