Question

已知f（x）=x+

m

x

图象过点（ 2，4 ），
（1）求f（x）解析式与定义域；
（2）判断f（x）奇偶性；
（3）已知n≥4，f（x）在[a，a+1]有最小值为n，求正数a范围．

Answer 1

分析：（1）由函数图象过点（2，4）知f（2）=4，解出m值即可，根据分母不为0可求定义域；
（2）利用奇偶性的定义即可作出正确判断；
（3）利用数形结合画出图象，然后分情况进行讨论，结合单调性即可求得a的范围；

解答：解：（1）因为f（x）的图象过点（2，4），
所以有f（2）=4，即2+

m

2

=4，解得m=4，
故f（x）=x+

4

x

．定义域为{x|x≠0}．
（2）∵x≠0，f（x）+f（-x）=（x+

4

x

）+（-x+

4

-x

）=0，
所以f（-x）=-f（x），
∴f（x）奇函数．
（3）当x＞0时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，f（2）=4，f（1）=f（4）=5．
作出函数f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上的图象，如下图所示：
由图象得①当n=4时，有a≤2≤a+1，解得1≤a≤2．
②当4＜n＜5时，
若1＜a+1＜2，即0＜a＜1，f（x）在[a，a+1]上递减，f_min（x）=f（a+1）=n，解得a=

n- n2-16

2

-1．
若2＜a＜3，f（x）在[a，a+1]上递增，f_min（x）=f（a）=a+

4

a

=n，解得a=

n+ n2-16

2

．
③当n≥5时，f（x）在[a，a+1]上递增，f_min（x）=f（a）=a+

4

a

=n，解得a=

n+ n2-16

2

．
综上所述，当当n=4时，1≤a≤2；当4＜n＜5时，a=

n- n2-16

2

-1或a=

n+ n2-16

2

；当n≥5时，a=

n+ n2-16

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及函数最值的求解，考查分类讨论思想数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，本题具有一定综合性．