Question

如图所示,M、N、P分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点.

(1)若,求证:无论点P在DD₁上如何移动,总有BP⊥MN.

(2)若D₁P∶PD=1∶2,且PB⊥平面B₁MN,求二面角NB₁MB的大小.

(3)在棱DD₁上是否存在这样的点P,使得平面APC₁⊥平面ACC₁?证明你的结论.

Answer 1

(1)证明：以DA、DC、DD₁所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如右图所示.

设正方体棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C₁(0,1,1).

设M(1,1-x,0),N(1-x,1,0),P(0,0,z),则

=(-x,x,0),=(-1,-1,z).

=x-x=0,∴BP⊥MN.

(2)解：由条件知P(0,0,),=(-1,-1,),=(-1,0,0),

、分别为面B₁MN、面B₁MB的法向量.

∴二面角N-B₁M-B的大小等于〈,〉,

cos〈,〉=

∴〈,〉=arccos.

所求二面角的大小为arccos.

(3)解：不妨假设存在点P,则在平面ACC₁内过C作CE⊥AC₁,垂足为E.

设P(0,0,z),=(-1,0,z),

λ(-1,1,1),

=(-λ+1,λ-1,λ),

由

再由

∴P为DD₁中点,此时CE⊥AP.

故CE⊥平面APC₁.

又CE平面ACC₁,

∴平面APC₁⊥平面ACC₁.