Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是奇函数，得出f（0）=0，进而求出k的值．
（2）先通过f（1）=

3

2

求出a的值．令t=f（x）=2^x-2^-x，转换成关于t的二次函数．对称轴为t=m．又因为t=f（x）=2^x-2^-x≤

3

2

，就要看g（x）取最小值时t能否取到m．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0
∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，
即2a²-3a-2=0
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x
∵x≥1
∴t≥f（1）=

3

2

∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²
当m≥

3

2

时，当t=m时，g（x）_min=2-m²=-2
∴m=2
当m＜

3

2

时，当t=

3

2

时，g（x）_min=

17

4

-3m=-2
m=

25

12

＞

3

2

，舍去
∴m=2

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用．此类题常与函数的对称性、单调性、周期性一块考查．