Question

已知抛物线y=ax²（a＜0）焦点为F，过F作直线L交抛物线于A、B两点，则

1

|AF|

+

1

|BF|

=

 

．

Answer 1

分析：先求出焦点F（0，

1

4a

），准线为 y=-

1

4a

，设直线L的方程为 y=kx+

1

4a

，代入抛物线y=ax² 解得 A、B的
坐标，根据抛物线的定义可得AF 和BF 的解析式，代入

1

|AF|

+

1

|BF|

进行化简运算结果．

解答：解：抛物线y=ax²（a＜0）即 x2=

1

a

y=-

1

|a|

y=-

1

-a

y，故焦点F（0，

1

4a

），准线为 y=-

1

4a

．
由题意可得，直线L的斜率存在，设直线L的方程为 y=kx+

1

4a

，代入抛物线y=ax² 解得
x₁=

k+ k2+1

2a

，x₂=

k- k2+1

2a

，∴y₁=

k2+k k2+1

2a

+

1

4a

，y₂=

k2-k k2+1

2a

+

1

4a

不妨设A（x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），由抛物线的定义可得AF=-

1

4a

-y₁=-

k2+1+ k k2+1

2a

，
BF=-

1

4a

-y₂=

k2+1- k k2+1

2a

．
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

-2a

k2+1+ k k2+1

+

-2a

k2+1- k k2+1

=

-4a(k2+1)

(k2+1)

=-4a，
故答案为-4a．

点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，根据题意，求出AF=-

k2+1+ k k2+1

2a

，BF=

k2+1- k k2+1

2a

，是解题的关键．