Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

x2

5

-

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，说明点C到直线bx±ay=0的距离等于半径．根据圆C方程，不难得到圆心C坐标为（3，0），半径r=2，用点到直线的距离建立关于a、b的方程，再结合c=

a2+b2

=3，联解可得a、b的值，从而得到该双曲线的方程．

解答：解：将圆C：x²+y²-6x+5=0化为标准方程，得（x-3）²+y²=4
∴圆心为C（3，0），半径r=2
∵双曲线的右焦点为圆C的圆心，
∴c=3，可得a²+b²=9…①
又∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线均和圆C相切
∴点C（3，0）到直线bx±ay=0的距离等于半径，即

|3b|

a2+b2

=2…②
联解①②，得a=

5

，b=2
∴该双曲线的方程为

x2

5

-

y2

4

=1．
故答案为：

x2

5

-

y2

4

=1

点评：本题给出双曲线的右焦点与圆C的圆心重合，且渐近线与圆C相切，求双曲线的方程，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的标准方程等知识，属于中档题．