Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，an=

2n

n-1

an-1+n(n≥2，n∈N*)，且bn=

an

n

+λ，{b_n}为等比数列．
（Ⅰ）求实数λ及数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时，an=

2an

n-1

an-1+n，

an

n

=2

an-1

n-1

+1，故λ=1，b_n=2b_n-1，由此能求出实数λ及数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n），令T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由错位相减法能求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时an=

2an

n-1

an-1+n，
∴

an

n

=2

an-1

n-1

+1，
即

an

n

+1=2(

an-1

n-1

+1)
∴λ=1
∴b_n=2b_n-1
而b1=

a1

1

+1=2≠0
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=n.2ⁿ-n．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ-（1+2+3++n）
令T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ，
则2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴++n×2ⁿ⁺¹两式相减得-Tn=2+22++2n-n.2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n.2n+1
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2∴Sn=(n-1)2n+1-

n2+n-4

2

点评：第（Ⅰ）题考查数列的通项公式，解题时要注意合理地进行等价转化；第（Ⅱ）题考查数列前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．