Question

如图所示，在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1． (1) 求证：平面CBD⊥平面ABD (2) 是否存在这样的四面体，使二面角C－AD－B的平面角为?如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角θ，使得存在这样的四面体，使二面角C－AD－B的平面角为θ

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB⊥平面CBD．∵AB平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD． 　　分析：证明平面CBD⊥平面ABD比较容易．对于第(2)小题。由题设条件知，二面角C－AD－B的大小由D点的位置所确定，所以可引入线段参数CD=x，从假设存在入手，看满足题设条件的x是否存在．
(2)	设CD=x，如图所示，在平面BCD内，作CE⊥BD，垂足为E；在平面ABD内，作EF⊥AD，垂足为F，连结CF．∵平面BCD⊥平面ABD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，∴EF为CF在平面ABD内的射影．∵EF⊥AD，∴CF⊥AD．故∠EFC是二面角C－AD－B的平面角． 　　在Rt△BCD中，由面积关系，得CE==． 　在Rt△ACD中，由面积关系，得CF==． 　　在Rt△CEF中，sin∠EFC==若∠EFC=则=化简得x2=－3，无实数根．故不存在这样的四面体ABCD，使二面角C－AD－B的平面角为． 　　∴sin∠EFC==∈(，1)，∴∠EFC∈(，)． 　　故θ可以取～之间的任意角． 　　点评：这是一道存在性的探索题，常假定结论成立，再判断与已知条件是否矛盾．