Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD， AD∥BC，∠ABC=，AB=PA=AD=a，cos∠ADC=， （1）求点D到平面PBC的距离；             （2）求二面角C-PD-A的正切值。

Answer 1

解：（1 ）如图，在四棱锥P-ABCD中， ∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离， ∵∠ABC=， ∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥BC， ∴BC⊥平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB， 过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC， ∴AE的长等于点D到平面PBC的距离，而AB=PA=a， ∴AE=， 即点D到平面PBC的距离为。   （2）∵PA⊥底面ABCD， ∴平面PAD⊥底面ABCD，        引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD， ∴MN是CN在平面PAD上的射影， 由三垂线定理可知CN⊥PD， ∴∠CNM是二面角C-PD-A的平面角， 依题意， ∴， ∴BC=a，        可知， ∴， ，        ∴二面角C-PD-A的正切值为。