Question

已知函数f（x）=e^x-ax+a
（Ⅰ）若a=e，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=e代入f（x），求出f′（x），令f′（x）＞0和f′（x）＜0，求解即可得到f（x）的单调区间；
（2）根据f（|x|）为偶函数，将f（|x|）＞0恒成立，转化为f（x）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，即求f（x）的最小值即可，利用导数研究函数的单调性，分0＜a≤1和a＞1两种情况分别求解，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax+a，
∴当a=e时，f（x）=e^x-ex-e，
∴f'（x）=e^x-e，
令f'（x）＞0，解得x＞1，令f'（x）＜0，解得x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，0）；
（2）显然f（|x|）是偶函数，
∴f（|x|）＞0对任意x∈R恒成立，等价于f（x）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
令f'（x）=e^x-a=0，解得x=lna，
①当a∈（0，1]时，f'（x）＞1-a≥0（x＞0），
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）≥f（0）=1+a＞0，
∴当a∈（0，1]时，符合题意；
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0，列表分析：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴f（x）_min=f（lna）＞0，
∴a＜e²，且a＞1，
∴1＜a＜e²．
综合①②可得，实数a的取值范围为（0，e²）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．