Question

椭圆

x2

a2

+y²=1上存在一点P，使得它对两个焦点F₁，F₂的张角∠F₁PF₂=

π

2

，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．（0， 2 2 ]

B．[ 2 2 ，1）

C．（0， 1 2 ]

D．[ 1 2 ，1）

Answer 1

∵椭圆方程为：

x2

a2

+y²=0，
∴b²=1，可得c²=a²-1，c=

a2-1

∴椭圆的离心率为e=

a2-1

a

又∵椭圆上一点P，使得角∠F₁PF₂=

π

2

，
∴设点P的坐标为（x₀，y₀），结合F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∴

PF1

•

PF2

=x02-c2+y02=0…①
∵P（x₀，y₀）在椭圆

x2

a2

+y²=1上，
∴y02=1-

x02

a2

，代入①可得x02-c2+1-

x02

a2

=0
将c²=a²-1代入，得x02-a²-

x02

a2

+2=0，所以x02=

a4-2a2

a2-1

，
∵-a≤x₀≤a
∴0≤x02≤a2，即0≤

a4-2a2

a2-1

≤a2，解之得1＜a²≤2
∴椭圆的离心率e=

a2-1

a

=

1- 1 a2

∈[

2

2

，1）．