Question

（2011•广州模拟）各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，

a

2 n+1

-

a

2 n

=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an2

2n

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+12-an2=2，可知数列{

a

2 n

}是首项为1，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项可求an2，结合已知进而可求a_n
（2）由（1）

an2

2n

=

2n-1

2n

，利用错位相减可求数列的和

解答：解：（1）因为an+12-an2=2，
所以数列{

a

2 n

}是首项为1，公差为2的等差数列．…（2分）
所以

a

2 n

=1+(n-1)×2=2n-1．…（4分）
因为a_n＞0，所以an=

2n-1

（n∈N^*）．…（6分）
（2）由（1）知，an=

2n-1

，所以

an2

2n

=

2n-1

2n

．…（7分）
所以Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，①…（8分）
则

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②…（9分）
①-②得，

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

…（11分）
=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

…（12分）
=

3

2

-

2n+3

2n+1

．…（13分）
所以Sn=3-

2n+3

2n

．…（14分）

点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，错位相减求解数列的和是数列求和的重点和难点，要注意掌握