Question

已知函数f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+1
（1）求函数f（x）在[-π，π]上的单调区间；
（2）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，可得函数f（x）在R上的单调递增区间与单调递减区间．再将得到的单调区间与区间[-π，π]取交集，即可得到函数f（x）在[-π，π]上的单调区间；
（2）由（1）的结论可得f（x）在[0，

π

8

]上为增函数，在[

π

8

，

π

2

]上为减函数，由此比较f（0）与f（

π

2

）的大小，可得当x=

π

2

时函数f（x）有最小值0．

解答：解：（1）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z），
同理可得f（x）的单调递减区间为[-

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z），
对以上的单调区间分别取k=0、-1，将得到的区间与[-π，π]取交集，
可得函数f（x）在[-π，π]上的单调增区间为[-π，-

7π

8

]和[-

3π

8

，

π

8

]；
单调减区间为[-

7

8

π，-

3

8

π]和[

π

8

，

5π

8

]．
（2）由（1）得，当x∈[0，

π

2

]时，
函数f（x）在[0，

π

8

]上为增函数，在[

π

8

，

π

2

]上为减函数，
∴函数f（x）在[0，

π

2

]上的最小值是f（0）与f（

π

2

）中的较小的值．
又∵f（0）=

2

sin

π

4

+1=2，f（

π

2

）=f(x)=

2

sin(2•

π

2

+

π

4

)+1=0，
∴当x=

π

2

时，函数f（x）有最小值0．

点评：本题给出正弦型三角函数表达式，求函数在[-π，π]上的单调区间，并求函数f（x）在[0，

π

2

]上的最小值．着重考查了三角函数的图象与性质、正弦函数的单调性及其应用等知识，属于中档题．