Question

（2011•武汉模拟）已知函数f(x)=sin(2x+

π

4

)cosφ+cos(2x+

π

4

)sinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）的图象关于直线x=

π

6

对称．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式可得f（x）=sin（2x+

π

4

φ），令2x+

π

4

+φ =kπ+

π

2

，将x=

π

6

结合0＜φ＜π可求
（II）由（I）知f（x）=sin（2x+

7π

6

），由

π

2

+2kπ≤2x+

7π

6

≤

3π

2

+2kπ可求

解答：解：（I）∵函数f（x）=sin（2x+

π

4

φ）
又y=sinx的图象的对称轴为x=kπ+

π

2

，k∈Z
令2x+

π

4

+φ =kπ+

π

2

，将x=

π

6

代入可得=kπ-

π

12

，k∈Z
∵0＜φ＜π
∴φ=

11π

12

（II）由（I）知f（x）=sin（2x+

7π

6

）
由

π

2

+2kπ≤2x+

7π

6

≤

3π

2

+2kπ得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）

点评：本题主要考查了三角函数的两角和的正弦公式，三角函数的对称性及单调区间的求解，解题的关键是准确掌握正弦函数的性质并能灵活应用