Question

抛物线C：y=ax²的准线为y=-

1

2

，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A，B，|AB|=1．
（1）求a的值；
（2）求P点的轨迹．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的准线方程确定抛物线方程，即可求得a的值；
（2）先求出切线方程，得出A，B的坐标，利用|AB|=1，可得轨迹方程，从而可得P点的轨迹．

解答：解：（1）由已知：抛物线的准线为y=-

1

2

，
∴

p

2

=

1

2

，∴p=1…（2分）
∴抛物线为x²=2y即y=

1

2

x2，
∴a=

1

2

…（5分）
（2）设M(x1，

1

2

x

2 1

)，N(x2，

1

2

x

2 2

)，P(x，y)
∵y=

1

2

x2，∴y′=x，∴k_PM=x₁
直线PM：y-

1

2

x

2 1

=x1(x-x1)，即y=x1x-

1

2

x

2 1

令y=0得x=

1

2

x1即A(

1

2

x1，0)
同理PN：y=x2x-

1

2

x

2 2

，B(

1

2

x2，0)…（9分）
由

y=x1x- 1 2 x 2 1 y=x2x- 1 2 x 2 2

得

x= x1+x2 2 y= x1x2 2

∵|AB|=1，∴|

1

2

x1-

1

2

x2|=1，∴(x1+2)2-4x1x2=4
∴（2x）²-8y=4即y=

1

2

x2-

1

2

…（12分）
∴P的轨迹方程为y=

1

2

x2-

1

2

，轨迹是一条抛物线       …（13分）

点评：本题考查抛物线方程，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．