Question

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，
(Ⅰ)证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
(Ⅱ)设AB=AA₁，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为p，
(ⅰ)当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
(ⅱ)记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ(0°＜θ≤90°)，当p取最大值时，求cosθ的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵A1A⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴A1A⊥BC， ∵AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC， 又AC∩A1A=A， ∴BC⊥平面A1ACC1，而BC平面B1BCC1， 所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1。 (Ⅱ)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r， 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积， 又∵， ∴， 当且仅当时等号成立， 从而，V1≤2r3； 而圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3， 故， 当且仅当AC=BC=r，即OC⊥AB时等号成立， 所以，p的最大值等于。
(ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值时，OC⊥AB， 于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz(如图)， 则C(r，0，0)，B(0，r，0)，B1(0，r，2r)， ∵BC⊥平面A1ACC1， ∴是平面A1ACC1的一个法向量， 设平面B1OC的法向量n=(x，y，z)， 由，得，故， 取z=1，得平面B1OC的一个法向量为n=(0，-2，1)， ∵， ∴。