Question

长方体的同一个顶点上三条棱的边长分别为2、

3

、1，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是

8π

．

Answer 1

分析：根据长方体对角线长的公式算出对角线长l=2

2

，结合长方体性质可得外接球的半径R=

2

，进而可得该球的表面积．

解答：解：∵长方体的同一个顶点上三条棱的边长分别为2、

3

、1，
∴长方体对角线长为l=

22+( 3 )2+12

=2

2

∵长方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴长方体的对角线是该球的一条直径，
因此，球的半径R=

1

2

l=

2

，
可得球的表面积为：S=4πR²=8π
故答案为：8π

点评：本题给出长方体过同一个顶点的三条棱长，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式、长方体的外接球和球的表面积公式等知识，属于基础题．