Question

函数f（x）=

x2+1

+

x2-4x+8

的最小值是

13

．

Answer 1

分析：将根式进行配方，将函数转化为两点间的距离关系进行求解即可．

解答：解：f（x）=

x2+1

+

x2-4x+8

=

(x-0)2+(0+1)2

+

(x-2)2+(0-2)2

，
令P（x，0），A（0，-1），B（2，2），
则PA+PB=

(x-0)2+(0+1)2

+

(x-2)2+(0-2)2

，
∴函数f（x）的几何意义是动点P到定点A，B两点距离之和的取值范围，
由图象可知，当A，B，P三点共线时，PA+PB的值最小，
此时PA+PB≥AB=

(0-2)2+(-1-2)2

=

4+9

=

13

，
故答案为：

13

．

点评：本题主要考查函数的最值的求法，利用根式的特点将代数问题转化为几何问题是解决本题的关键，考查了两点之间线段最短的性质．