Question

如图，四边形ABCD为矩形，且AD＝4，AB＝2，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．

(1)当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；

(2)设PA＝1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P－ED－A的大小为．试确定点E的位置．

Answer 1

答案：
解析：

方法一：(2)证明：当为中点时，，从而为等腰直角三角形，则，同理可得，∴，于是，　2分 　　又，且，∴，　4分 　　∴，又，∴．　6分 　　(也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理) 　　(2)如图过作于，连，则， 　　∴为二面角的平面角．　8分 　　设，则． 　　 　　 　　于是　10分 　　，有 　　解之得． 　　点在线段BC上距B点的处．　12分 　　方法二、向量方法．以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．　1分 　　(1)不妨设，则， 　　从而，　4分 　　于是， 　　所以所以　6分 　　(2)设，则， 　　则．　8分 　　易知向量为平面的一个法向量．设平面的法向量为，则应有 　　即解之得，令则，， 　　从而，　10分 　　依题意，即，解之得(舍去)， 　　所以点在线段BC上距B点的处．　12分